en Matemáticas, la cardinalidad de un conjunto es el tamaño de éste, es decir, la cantidad de elementos contenidos en él. así, podemos decir que un conjunto particular de cucharas tiene tres, que la colección de gorras colgada en la pared de mi habitación tiene ocho miembros, que el año no bisiesto agrupa trescientos sesenta y cinco días, etcétera. (no vamos a entrar aquí en la discusión de qué es un conjunto, dejándolo como concepto primitivo, ni queremos introducirnos en paradojas con barberos de pueblos imaginarios.)
sucede -y es quizás el punto de interés- que mientras uno puede pensar en hacer equipos de cualquier cantidad de elementos, también existen conjuntos que tienen una cantidad infinita de éstos. para poder ejemplificarlo mejor, nos quedaremos en conjuntos de números, donde espero poder arrojar luz sobre la analogía principal en la presente disertación. (tampoco, aunque es un asunto verdaderamente fascinante, existen conjuntos que, pese a ser infinitos tienen más o menos miembros que el otro; conjuntos que, pese a estar contenidos en otro y no viceversa, tienen la misma cantidad.) así, pensemos en el conjunto de los números Naturales, |N = {1, 2, 3, 4, ...}, tiene infinitos elementos porque como propuso Peano -y como sabe cualquier infante en edad escolar- si sabemos que n es un número natural, entonces n + 1 no solo sigue siendo natural, además es uno más grande.
en el conjunto de los Naturales, podemos tomar dos conjuntos ajenos que no solo son del mismo tamaño entre ellos, además son del mismo tamaño que el original. por ejemplo: sea A := {1, 3, 5, 7,...} el conjunto de todos los números impares y B := {2, 4, 6, 8,...} el conjunto de los impares. claramente no existe un número que sea par e impar a la vez por lo que estos grupos no comparten elementos; para tratar de imaginar que tienen la misma cantidad, veamos simplemente que podemos hablar del primer par, el primer impar, el primer natural con exactamente la misma naturalidad -vaya- y seguir así, infinitamente. si consideramos C := {1, 4, 9, 16,...} el conjunto de los cuadrados perfectos, vemos que C sí comparte elementos con A y con B; sin embargo, tienen el mismo tamaño. (esto debería ser sorprendente, porque todo par, impar o cuadrado es natural, pero no así el recíproco; sin embargo, los conjuntos de todos ellos tienen exactamente el mismo tamaño.)
lo que quiero decir es que considerando dos conjuntos infinitos, puede resultar bobo pensar en términos tan llanos como si uno complementa o no al otro -que se hace, claro-. y la unión de dos tales conjuntos, aunque infinitamente más rica, es un conjunto tan grande como cualquiera de los dos originales en su existencia individual. si un tal conjunto infinito se sustrae del otro, el resultado bien podría seguir siendo infinito: puedes quitarle todo y, sin embargo, dejarlo del mismo tamaño.
lo que quiero decir es que seguramente tengo algo que no tienes y tú posees algo que me falta y que ambos podríamos vivir perfectamente sin extrañarlo, necesitarlo, imaginarlo. no ganamos nada y, sin embargo, no tenemos nada qué perder.
